Fourierzerlegung

Viele elektrische Wechselgrößen weichen mehr oder weniger stark von der idealen Sinusform ab. Um diese Größen trotzdem mathematisch beschreiben zu können, werden sie in eine Summe von sinusförmigen Einzelgrößen zerlegt. Addiert man zu jedem Zeitpunkt die Einzelgrößen, so erhält man wieder die ursprüngliche Größe.

Das mathematische Verfahren, das diese Zerlegung ermöglicht, wird Fourierzerlegung genannt. Die folgende Gleichung gibt den Ansatz der Fourierzerlegung an:

Dabei sind:

Die Funktion f(t) wird also aus einem Gleichanteil, einer Grundschwingung und Vielfachen der Grundschwingung "zusammengesetzt". Die Vielfachen der Grundschwingung werden auch als Oberschwingungen oder Harmonische bezeichnet.
Die Koeffizienten der einzelnen Bestandteile lassen sich nach folgenden Formeln berechnen:

Mit den Zusammenfassungen

lässt sich schreiben:

Damit können periodische Größen auf zwei Arten dargestellt werden:

• im Zeitbereich: als Funktion der Zeit und
• im Frequenzbereich: als Amplituden- und Phasengang in Abhängigkeit von der Frequenz

Das folgende Bild zeigt die Darstellung für ein Rechtecksignal im Zeit- und Frequenzbereich.

Die Fourier-Reihe für f(t) lautet:

Wie man sieht, nehmen die Koeffizienten Cn mit zunehmender Frequenz stark ab, so daß die Reihenentwicklung nach wenigen Summanden abgebrochen werden kann. Sehr hochfrequente Anteile werden im allgemeinen vernachlässigt.

Fourierzerlegung bei netzharmonische Vorgängen

Bei netzharmonischen Vorgängen ergeben sich aufgrund ihrer Entstehung und der Gesetzmäßigkeiten des Drehstromnetzes Vereinfachungen im Amplituden- und Frequenzgang.

Symmetrie bezüglich der Zeitachse

Netzharmonische Vorgänge sind oft bezüglich der Zeitachse symmetrisch. Das heißt:

f(t) = -f(t+T/2)

Unter diesen Bedingungen verschwindet der Gleichanteil C0 und es treten nur Werte für Cn bei ungeradzahligem n auf. Eine solche Größe enthält also nur ungeradzahlige Vielfache der Grundschwingung bzw. der Netzfrequenz.

Symmetrisches Drehstromnetz

Für eine symmetrisches Drehstromnetz ist die Summe der Phasenströme gleich Null.
Es gilt:

IL1 + IL2 + IL3 = 0

Unter diesen Bedingungen verschwinden alle Werte für Cn bei denen n durch 3 teilbar ist. Ursache dafür ist, dass die Summe der durch 3 teilbaren Oberschwingungen nicht 0 ergeben würde. Damit können sich diese Oberschwingungen im Strom nicht ausprägen. Das nachfolgende Bild zeigt die zeitlichen Verläufe.

Wie zu erkennen ist, fallen die durch 3 teilbaren Harmonischen genau übereinander und heben sich in ihrer Summe nicht auf.

Da keine Ströme entsprechender Frequenz fließen können, treten an den Leitungsimpedanzen auch keine Spannungsabfälle mit durch 3 teilbarer Oberschwingungsfrequenz auf.

Frequenzspektren von oberschwingungsbehafteten Strömen und Spannungen enthalten in symmetrischen Drehstromnetzen deshalb nur die Grundschwingung sowie die 5., 7., 11., 13., 17., 19. ... Oberschwingung.

Hinweis: Ein Drehstromnetz, bei dem Ströme über den geerdeten Sternpunkt des Netztransformators fließen, ist nicht mehr symmetrisch.

Effektivwert nichtsinusförmiger periodischer Größen

Der Effektivwert F einer periodischen Größe ist definiert als:

Die Funktion f(t) wird nun durch ihre Darstellung als Fourierreihe f(t) = f1 + f2 + f3 + ... ersetzt.
Für f(t)² ergibt sich damit:

f(t)² = (f1 + f2 + f3 + ...)*(f1 + f2 + f3 + ...) = f1² + f1f2 + f1f3 +...+ f2² + f2f1 + f2f3 +...

und nach Einsetzen in die Definitionsgleichung für F:

Bildet man die Integrale für alle Produkte fpfq über die Periodendauer T, so verschwinden die Integrale für die Produkte aus ungleichen Frequenzanteilen. Für die Berechnung des Effektivwertes müssen also nur die Quadrate fn² aller Frequenzanteile von f(t) berücksichtigt werden. Damit ergibt sich für den Effektivwert F der Funktion f(t):

Wirkleistung nichtsinusförmiger periodischer Größen

Die Wirkleistung P einer periodischen Größe ergibt sich als Mittelwert der Leistung über eine Periode T:

u: Augenblickswert der Spannung i: Augenblickswert des Stroms

Strom und Spannung sind nichtsinusförmige Größen und werden dementsprechend durch ihre Fourierreihen beschrieben:

Für u*i ergibt sich damit:

u*i= (u1 + u2 + u3 + ...)*(i1 + i2 + i3 + ...) = u1*i1 + u1*i2 + u1*i3 +...+ u2*i1 + u2*i2 + u2*i3 + ...

und nach Einsetzen in die Definitionsgleichung für P:

Bildet man die Integrale für alle Produkte up*iq über die Periodendauer T, so verschwinden die Integrale für die Produkte aus ungleichen Frequenzanteilen. Für die Berechnung der Wirkleistung müssen also nur die Produkte gleicher Frequenzanteile von u und i berücksichtigt werden. Damit ergibt sich für die Wirkleistung P:

Die Wirkleistung ist damit gleich der Summe aus der Wirkleistung für die Grundschwingung und jeder Harmonischen.

Weitere Kennwerte periodischer Größen

Periodische Größen werden neben ihrer Darstellung im Zeit- und Frequenzbereich durch weitere Kennwerte beschrieben. Diese geben an, wie stark die periodische Größe von einer idealen Sinusform abweicht.

Kennwert	Definition	Beschreibung
Grundwellenfaktor		Verhältnis vom Effektivwert F1 der Grundschwingung zum Effektivwert F der Funktion f(t) reine Sinusgröße: Kg = 1
Klirrfaktor		Verhältnis der Summe aller Effektivwerte Fn der Harmonischen zum Effektivwert F der Funktion f(t) reine Sinusgröße: Kk = 0
Formfaktor		Verhältnis vom Effektivwert F der Funktion f(t) und dem Gleichrichtwert Fa der Funktion f(t) reine Sinusgröße: Kf = 1,11
Scheitelfaktor		Verhältnis vom Scheitelwert Fmax der Funktion f(t) und dem Effektivwert F der Funktion f(t) reine Sinusgröße: Ka = 1,41